Matrice de taille m x n

Définition

Une matrice de taille  \(m \times n\) est un tableau de nombres formé de  \(m\) lignes et de  \(n\) colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice.

Exemple

  \(\begin{pmatrix}1&2&7\\3&4&9\end{pmatrix}\)  est une matrice ayant 2 lignes et 3 colonnes ainsi que 6 coefficients.

Notation

En général, on note une matrice avec une lettre majuscule ; pour ses coefficients, on utilise la même lettre en minuscule, en indiquant en indice le numéro de ligne suivi du numéro de colonne.

On peut aussi noter la matrice en indiquant son coefficient général entre parenthèses.

Voici donc une matrice  \(A\) de taille  \(m \times n\) :

\(\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}& \cdots& a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\ \cdots&\cdots & \cdots&\cdots\\a_{m,1} & a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\\ \end{pmatrix}\)

Le nombre  \(a_{i,j}\) (avec \(1 \le i\le m\)  et \(1 \le j \le n\) ) est donc inscrit dans la  \(i\) -ième ligne et la  \(j\) -ième colonne de la matrice.

Exemples

Pour l'exemple précédent, on peut noter :
\(A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\end{pmatrix}\)  
avec  `\a_{1,1}=1; \a_{1,2}=2 ; \a_{1,3}=7`  pour les coefficients de la première ligne par exemple.

On peut aussi noter cette matrice  \(\begin{pmatrix}a_{i,j}\end{pmatrix}_{1\leqslant{i}\leqslant{2} , 1\leqslant{j}\leqslant{3}}\)  où  \(a_{i.j}\)  représente le coefficient de la matrice situé à l'intersection de la i-ème ligne et la j-ème colonne.

Remarque

Si  \(m>9\) ou \(n>9\) , pour éviter les confusions, il est indispensable de séparer le numéro de ligne et le numéro de colonne par une virgule (ainsi on sait par exemple si on parle de  \(a_{1,11}\) ou de \(a_{11,1}\) ).

Afin d'alléger l'écriture, pour  \(m\leqslant{9}\)  et  \(n\leqslant{9}\) , le plus souvent on n'écrit pas la virgule.

Exemples

Soit  \(B=(b_{ij})\) la matrice de taille  \(3 \times 2\) égale à \(\begin{pmatrix} 2& \sqrt5\\ 4 & 7\\\frac{1}{3}& 0\end{pmatrix}\) .
Le coefficient  \(b_{31}\) vaut  \(\dfrac{1}{3}\)  ; le coefficient  \(b_{21}\) vaut  \(4\) et le coefficient  \(b_{12}\) vaut \(\sqrt{5}\) .

Il n'y a aucune confusion possible, donc les virgules ne sont pas nécessaires.

Voici une matrice  \(A\) ou  \((a_{ij})\) de taille  \(5\times 7\) :

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}& a_{17}\\ a_{21} & a_{22}&a_{23} & a_{24}&a_{25} & a_{26}&a_{27}\\ a_{31} & a_{32}&a_{33} & a_{34}&a_{35} & a_{36}&a_{37}\\a_{41} & a_{42}&a_{43} & a_{44}&a_{45} & a_{46}&a_{47}\\a_{51} & a_{52}&a_{53} & a_{54}&a_{55} & a_{56}&a_{57}\\ \end{pmatrix}\)